Entendendo os números primos
Postado por Marcos Elias | Em Matemática
O que é número primo?
por Marcos Elias
Hoje é sexta-feira 13. Eu gosto de 13, mas não por superstições. Sei lá, talvez o formato. A única coisa que acho que estraga o 13 é um partido aê… Deixa quieto. Talvez eu goste do número 13 por ser primo. Mas afinal, o que é um número primo? Vamos lá.
Números primos são números que têm apenas dois divisores: 1 e eles mesmos. Em outras palavras, é impossível organizar um conjunto de objetos em grupos iguais se o total de objetos for um número primo.
Supomos 10. Você pode agrupar 10 em dois grupos iguais de 5 unidades cada. Dizemos que 10 é divisível por 2, pois pode ser dividido em dois grupos iguais sem deixar resto, sem sobrar nada. Com isso, 2 é divisor de 10, pois 2 divide 10 em partes iguais sem deixar resto. Você também pode inverter a coisa e agrupar 10 unidades em 5 grupos, cada um com 2 unidades. 10 é divisível por 5, pois pode ser repartido em 5 partes iguais sem deixar restos, e 5 é divisor de 10. Logo, 10 não é um número primo.
Agora peguemos o número 13. Se você tentar criar grupos com quantidades iguais, verá que não é possível. Quer tentar? Acompanhe o raciocínio:
Você pode começar vendendo as balas isoladas, assim teria 13 grupos de uma bala apenas.
Se você criar grupos de 2 unidades, terá 6 grupos (6 saquinhos com 2 balinhas cada) e sobrará 1 unidade. Não vale, pois não é uma divisão exata. 13 / 2 = 6, sobrando 1 (os números primos tratam dos números inteiros apenas, visto que nos números racionais praticamente qualquer número tem infinitos divisores, ae não vale; 13 teria como divisor 6,5).
Se você criar grupos de 3 unidades, terá 4 grupos com 3 balinhas cada, e sobrará 1 unidade.
Se você criar grupos com 4 unidades, terá 3 grupos e sobrará 1 unidade.
Se você criar grupos com 5 unidades, terá 2 grupos e sobrarão 3 unidades.
Se você criar grupos com 6 unidades, terá 2 grupos e sobrará 1 unidade.
E por fim, se você criar grupos com 7 unidades não dará, pois daria apenas um grupo e sobrarão várias unidades. A mesma coisa com 8, 9, 10, 11 e 12.
No final, você pode criar um único grupo de 13 unidades. Seria comparável a ensacar 13 balinhas num único saquinho.
Ou seja, 13 não pode ser repartido em grupos iguais, exceto se for 1 grupo de 13 unidades, ou 13 grupos de 1 unidade.
Por isso dizemos que 13 é divisível apenas por 1 e por 13, ou seja, por 1 e por ele mesmo. 13 é um número primo.
1 é divisor de 13, e 13 também.
Supondo números quaisquer a e b. Se a é divisível por b, quer dizer que a pode ser dividido em b partes iguais, sem deixar resto, sem sobrar nada. E como “b” pode ser capaz de repartir a em “b” partes, então b é divisor de a. Sempre sem deixar restos.
Uma forma rápida de obter números primos é seguir o Crivo de Eratóstenes. Os números primos têm apenas dois divisores, então pegamos uma lista de números e vamos removendo (riscando) todos os que tenham mais de 2 divisores, todos os que podem ser divididos por outro número sem ser um e si mesmo sem deixar resto.
Assim, supomos de 1 a 20. O número 2 é primo (é o único número par que é primo), pois ele é divisível apenas por 1 e por ele mesmo. Todos os números múltiplos de 2 podem ser divididos por 2 (idéia básica da multiplicação), então todos os múltiplos de 2 jamais serão primos. 4 por exemplo, pode ser dividido por 1, 2 e 4.
Então, de 1 a 20, riscamos ou tiramos fora todos os múltiplos de 2 (exceto o 2). Sobrariam:
1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.
Ah, vamos tirar o 1 também, pois ele não é primo. Ele tem apenas ele como divisor, o que quer dizer que ele é divisível por 1 e por ele mesmo ao mesmo tempo. Como “duplica” a regra para ser primo, não vale, cai fora 1. Veja que 1 não tem dois divisores distintos, ele teria dois divisores “iguais” se for seguir esse conceito. Sobram:
2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.
Agora vamos para o próximo número: 3. Ele é primo. Com 3 balas você pode criar um grupo de 3 ou vender cada uma isoladamente, mas não dá pra criar mais grupos iguais. Vamos remover todos os múltiplos de 3. A lista ficaria com:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Se você pegar o próximo, 5, verá que não tem mais múltiplos dele: o 10 já foi removido por ser divisível por 2, e o 15 por ser divisível por 3. Parou aí. Os números restantes são primos.
Existem infinitos números primos, e cada vez eles vão sendo mais distanciados.
Eles recebem o nome de “primos”, por serem os “primeiros”, segundo uma teoria. Primo de primeiro, não de primos filhos das tias ou tios. Eles permitem gerar todos os outros números via multiplicação. Em outras palavras, praticamente todos os números maiores do que o menor número primo (2) podem ser fatorados, divididos por números primos até que só sobrem números primos. Essa é a decomposição em fatores primos, útil para simplificar um número nos seus mínimos fatores, tendo diversas aplicações em algoritmos para solucionar muitas questões matemáticas.
Pode-se afirmar que os números primos são mais importantes do que os outros, pois com eles todos os outros podem ser criados via multiplicação. Sem o 3 não existiria o 9, por exemplo. Sem o 2, não existiria o 4. E sem o 5, não existiria o 10. Apesar de ser divisível por 2, só com o 2 e a multiplicação não dá pra chegar no 10, pois 2 x 2 = 4, 2 x 2 x 2 = 8, 2 x 2 x 2 x 2 = 16, passando do 10. A idéia base dos números primos leva em conta a multiplicação. Se você pensar na adição a coisa fica bem diferente, por ser incremental: “sempre” cabe mais um depois, ou seja, tendo o 0 ou o 1, todos os outros números existiriam apenas por somar mais um. Se x existe, x + 1 também existe.
Os números que podem ser resultado da multiplicação de dois ou mais números primos, são chamados de números compostos. A decomposição em fatores primos pode ser feita dividindo o número pelos menores números primos possíveis, sempre sem deixar resto.
Por convenção, o número 1 não é primo nem composto.
Convenção é um acordo feito entre não se sabe quem, mas que vale para todos.
Na verdade, zero também não é primo nem composto. 0 poderia ter infinitos divisores inúteis: 0 dividido por 10 dá 0 e sobra 0. 0 dividido por mil dá 0 e sobra 0. Zero não é nada. Ou, vendo por outro lado, 0 tem infinitos divisores que geram uma divisão exata, com resto 0. Assim não vale :P
Os números primos são importantes por serem especiais. Além de gerarem todos os outros números via multiplicação, eles são usados em algoritmos de criptografia ou algumas atividades especiais, visando simplificação ou descoberta de valores, caso da decomposição em fatores primos, que mostra como um número “foi criado” pelos números primos.
Um exemplo apenas, para não aprofundar muito. Vamos decompor em fatores primos o número 36.
Dividindo 36 pelo menor número primo, que é 2: dá 18, e sobra 0. É divisão exata, então 2 é um divisor de 36. Até aqui temos:
36 = 2 x 18
Agora pegamos o 18. Dividindo 18 por 2, dá 9, então 36 = 2 x (2 x 9).
36 = 2 x 2 x 9
Agora pegamos o 9. 9 não é divisível por 2 porque daria 4 e sobraria 1 (2 não é divisor de 9). Tentaremos o próximo número primo: 3. 9 dividido por 3 dá 3, divisão exata. Temos então que 36 = 2 x 2 x (3 x 3).
36 = 2 x 2 x 3 x 3
Chegamos num número primo no final, 3, não tem mais como dividi-lo em partes iguais. 3 é primo, só é divisível por 1 e por ele mesmo. Temos então o número 36 decomposto em fatores primos, ou seja, ele foi fatorado:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
Podemos simplificar essa multiplicação usando a potenciação, para facilitar a escrita basicamente.
36 = 22 x 32
A potenciação é uma simplificação da multiplicação escrita e também na forma de calcular. Assim como a multiplicação é, no fundo, uma adição simplificada. A adição é uma operação extremamente básica: juntar coisas é algo natural dos seres humanos.
Essa é a forma mais simples usando multiplicação que chegamos, para representar o número 36. Se os números fossem elementos químicos, diríamos que a substância 36 tem apenas os elementos 2 e 3 na sua composição. Se o número 36 fosse um bolo, diríamos que vão apenas 2 e 3 nos ingredientes, pois combinando apenas estes dois números podemos chegar ao 36. Se o número 36 fosse um carro, usaria apenas peças 2 e 3. E por aí vai. Os números primos se destacam dos outros e não há como negar, eles provam superioridade.
É isso :)
É difícil decorar ou descobrir números primos altos, mas a idéia é essa.
Quem sabe esse post inicie uma seção livre de matemática aqui dentro. Eu escrevi um esboço de livro didático de matemática de 5ª a 7ª séries (não terminei o da oitava); ah, também fiz um do primeiro ano do ensino médio. Isso em torno de 2003/2004, antes de usar a Internet pra valer. Preguiça de digitar tudo além da falta de apoio do HTML aos símbolos matemáticos me desanimaram de postar num site que eu até comecei a fazer. Depois de uns anos fiquei afastado da matemática, mas antes eu gostava muito e queria ser professor, ensinando de um jeito diferente, como as coisas são e não como elas devem ser seguidas. Hoje, o que é contraditório na minha vida quanto a matemática: muita coisa esqueci, precisaria reler por cima para pegar - e sou péssimo na resolução de problemas matemáticos, acabo fugindo! E como não tenho tempo além de estar trabalhando em outras coisas (leia-se Internet, Explorando, Sou Balada, Guia do Hardware .NET…), além de que não estão fazendo falta no meu dia-a-dia, deixei pra lá. Ah, que saudades das Matemáticas…
Alguns textos que eu havia publicado:
Adição e subtração de números inteiros (6ª série)
Introdução às equações simples (6ª série)
Introdução ao cálculo algébrico (6ª/7ª séries)
Correção: vi agora, eita, onde está PR = 6 . 10 o certo é PR = 6 + 10.
Peço que se você for publicar ou usar algum texto em aula ou como explicação, que indique a fonte, incluindo o nome do autor e o endereço deste site www.marcoselias.com.br. Caso tenha algum erro de digitação ou outro, por favor, poste um comentário. Não envie dúvidas de matemática, mal consigo responder todas as de informática que recebo no Explorando, rs.
